I NUMERI NATURALI

INTRODUZIONE 

Inizialmente molti matematici presero i numeri come termini primitivi. Come se fossero stati creati da Dio.

Successivamente fu proposto:

  1. Di derivarli dagli insiemi
  2. Costruirli a partire da altri termini primitivi

Le due costruzioni dell'insieme dei numeri naturali ne evidenziano i due aspetti di significato:

  1. Aspetto cardinale: il numero indica quanti sono gli elementi di un insieme senza tener conto di che cosa sono, indica una QUANTITA'
  2. Aspetto ordinale: in numero indica quale posto occupa un dato elemento in un insieme ordinato.

ASPETTO CARDINALE

Dati due insiemi A e B si dice che sono EQUIPOTENTI se esiste una funzione biunivoca da A in B,cioè se i due insieme  contengono lo stesso numero di elementi.

A è in relazione con B (ARB) se e solo se A è equipotente a B.

Si possono classificare gli insiemi "raggruppandoli" a seconda dell'equipotenza (classi)

DEFINIAMO:

  • Zero (0) la classe dell'insieme vuoto
  • Uno (1) la classe dell'insieme avente un unico elemento
  • Due (2) la classe dell'insieme avente due elementi
  • e così via...

Chiamiamo insieme dei numeri naturali e lo indichiamo con N l'insieme formato dai seguenti simboli: 

N={0,1,2,3,4,5,6,7...}


ASPETTO ORDINALE

G. Peano non dice cos'è il numero naturale ma spiega qual è il suo comportamento in relazione ad altri enti.

Assumiamo come termini primitivi dell'assiomatica di Peano:

  • Numero, che indicheremo con lettere minuscole (n, m...)
  • Zero, che indicheremo con 0
  • Successore, che indicheremo con S()
  • Uguaglianza, che indicheremo con =

Chiamiamo insieme dei numeri naturali un qualsiasi insieme che soddisfi i seguenti assiomi:

  1. Zero è un numero (0 ∈ N)
  2. Il successore di ogni numero è ancora un numero
  3. Se due numeri hanno lo stesso successore, allora anche i due numeri sono uguali
  4. Lo zero non è il successore di alcun numero

ASSIOMA 5. PRINCIPIO DI INDUZIONE

Se P(n) è una proprietà che coinvolge un  numero naturale n, dalle ipotesi che :

  • P(n) vale per 0
  • Se vale per un qualsiasi n implica che essa vale anche per Sn, allora la proprietà vale per ogni numero naturale.

Tratto dagli appunti di Claudio Rosanova

GIUSEPPE PEANO    

Giuseppe Peano nacque il 27 agosto 1858, in una fattoria chiamata "Tetto Galant" presso il villaggio di Spinetta di Cuneo. Fu il secondogenito di Bartolomeo Peano e Rosa Cavallo. Dopo un inizio estremamente difficile (doveva ogni mattina fare svariati chilometri prima di raggiungere la scuola), la famiglia si trasferì a Cuneo. Il fratello della madre, Giuseppe Michele Cavallo, accortosi delle sue notevoli capacità intellettive, lo invitò a raggiungerlo a Torino dove continuò i suoi studi presso il Liceo classico Cavour. Assistente di Angelo Genocchi all'Università di Torino, divenne professore di calcolo infinitesimale presso lo stesso ateneo a partire dal 1890.

Vittima della sua stessa eccentricità, che lo portava ad insegnare Logica in un corso di calcolo infinitesimale, fu più volte allontanato dall'insegnamento a dispetto della sua fama internazionale, perché "più di una volta, perduto dietro ai suoi calcoli, dimenticò di presentarsi alle sessioni di esame".

  Ricordi del grande matematico  sono raccontati con grazia e ammirazione nel romanzo biografico Una giovinezza inventata della pronipote, scrittrice e poetessa. Morì nella sua casa di campagna a Cavoretto, presso Torino, per un attacco di cuore che lo colse nella notte del 20 aprile 1932.

Attività scientifica

Come logico dette un eccezionale contributo alla logica delle classi, elaborando un simbolismo di grande chiarezza e semplicità. Diede una definizione assiomatica dei numeri naturali, i famosi Assiomi di Peano, i quali vennero ripresi da Russell e Whitehead nei loro Principia Mathematica per sviluppare la teoria dei tipi. Ebbe ampi riconoscimenti negli ambienti filosofici più aperti alle esigenze e alle implicazioni critiche della nuova logica formale.

Tratto da Wikipedia


Gli insiemi numerici

Dal diagramma di Eulero-Venn ovvio è che : N è un sottoinsieme proprio di Z, Z è un sottoinsieme proprio di Q, Q è un sottoinsieme proprio di R. I numeri Naturali sono tutti i numeri interi positivi, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}. I numeri Interi Relativi sono tutti i numeri interi positivi e negativi, Z={...,-2, -1, 0, 1, 2,...}. I numeri Razionali Q, sono tutti i numeri, positivi e negativi, che si possono mettere sotto forma di frazione, e cioè tutti i numeri interi, tutti i numeri decimali limitati, tutti i numeri decimali illimitati periodici e tutte le frazioni. I numeri Irrazionali I, sono tutti i numeri che non si possono mettere sotto forma di frazione, e cioè i numeri decimali illimitati non periodici. I numeri Reali R, sono tutti i numeri razionali e irrazionali.

L'insieme Z

Le operazioni interne a Z sono solo addizione sottrazione e
moltiplicazione, la divisione non è ben definita perchè in alcuni casi non può essere esegita.
sono state inventate ,per questo, le frazioni ch fanno parte dell'insieme Q.

L'insieme Q

Le operazioni interne a Q sono l'addizione, la sottrazione,
la moltiplicazione e la divisione ma ne manca ancora una che non è interna ed è
la radice. Per dare una risposta anche a questo
i matematici hanno inventato i numeri irrazionali che costituiscono l'insieme
R dei numeri reali.

L'insieme R

Le operazioni adesso sono tutte interne tranne le radici di
numeri negativi come la radice di -3 e per questo si è introdotto l'insieme C
dei numeri complessi.

L'insieme C

Ci sono dei numeri complessi espressi in forme algebriche
come: a+ib. Dove i= la radice di -1. L'unione dei numeri reali con quelli immaginari formano i  numeri complessi.

Tratto dagli appunti di Claudio Rosanova


L'insieme N

L'insieme N indica l'insieme dei numeri naturali, ossia l'insieme di tutti i numeri non negativi che si ottengono partendo dal numero zero ed aggiungendo, di volta in volta, un'unità.

N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}

I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta orientata, cioè una semiretta sulla quale, a partire dell’origine O, fissiamo un verso di percorrenza, da si-nistra verso destra, che indichiamo con una freccia. Fissiamo poi un’unità di misura u, e a partire dall’origine la riportiamo più volte sulla semiretta. A partire dall’origine a cui facciamo corrispondere lo 0, ci muoviamo verso destra passando di volta in volta al numero seguente.

Man mano che procediamo verso destra lungo la semiretta i numeri diventano sempre più grandi: ogni numero è maggiore di tutti quelli che lo precedono sulla semiretta.

Operazioni in N

Un'operazione ⋆ si dice interna a un insieme A se presi due qualunque elementi a,b dell'insieme A l'operazione a⋆b restituisce ancora un elemento di A. In tal caso si dice che A è chiuso rispetto all'operazione ⋆. In altri termini ancora un'operazione è interna a un insieme se e solo se si può svolgere con i soli elementi di quell'insieme, senza usarne altri.

Le operazioni interne all'insieme dei numeri naturali sono due: l'addizione ( + ) e la moltiplicazione ( x ); esse assieme alla sottrazione ( - ) e alla divisione ( : ), costituiscono le cosiddette quattro operazioni fondamentali.

Terminologia delle quattro operazioni fondamentali

Presa un'operazione ⋆ qualsiasi, si può schematizzare lo svolgersi di questa operazione nel seguente modo:

a⋆b=c
  • a,b sono detti operandi;
  • ⋆ è detto operatore;
  • c è detto risultato

I due numeri con i quali si opera, cioè gli operandi, assumono nomi particolari, così come i risultati delle operazioni:

  • Nell'’addizione il primo e il secondo operando sono gli addendi, il risultato è la somma.
  • Nella sottrazione il primo operando è il minuendo, il secondo operando è il sottraendo, il risultato è la differenza.
  • Nella moltiplicazione il primo e il secondo operando sono i fattori, il risultato è il prodotto.Fra le quattro operazioni solo l'addizione e la moltiplicazione danno sempre come
  • Nella divisione il primo operando è il dividendo, il secondo operando è il divisore, il risultato è il quoziente.

L'addizione e la moltiplicazione

Fra le quattro operazioni solo l'addizione e la moltiplicazione danno sempre come risultato un numero naturale. Per questo si dice che l'addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne in N, oppure che N è chiuso rispetto a tali operazioni.

La sottrazione e la divisione

La sottrazione e la divisione sono definite operazioni inverse. La differenza fra due numeri è quel numero che, addizionato al sottraendo, dà come somma il minuendo. Per esempio: 5 - 3 = 2, perché 2 + 3 = 5. Non sempre esiste in N il risultato della sottrazione quindi la sottrazione non è un'operazione interna in N. Per esempio non esiste in N il risultato di 4 - 9, perché non esiste un numero naturale n tale che n + 9 = 4. 

Il quoziente fra due numeri è quel numero che, moltiplicato per il divisore, dà come prodotto il dividendo. Quindi, perché la divisione abbia senso il divisore deve sempre essere diverso da 0. 0 è un'operazione impossibile, perché non esiste nessun numero che, moltiplicato per 0, dia 18. Anche con il divisore diverso da 0, non sempre esiste per la divisione il risultato in N, cioè la divisione non è un'operazione interna in N. Nei numeri naturali è sempre possibile eseguire la divisione non esatta (con resto). Se il resto è 0, la divisione è esatta.

Il numero 0

L'addizione e la sottrazione

Lo 0 sommato a qualsiasi numero dà come risultato il numero stesso. Ciò è vero indifferentemente quando 0 è il primo addendo o il secondo. Per questo motivo 0 è detto elemento neutro dell'addizione. Non è invece possibile in N la sottrazione con il minuendo uguale a 0. La somma di due numeri naturali è 0 soltanto se entrambi i numeri sono 0. Invece, quando la sottrazione dà come risultato 0, significa che il minuendo e il sottraendo sono uguali. Per esempio: 7 - 7 = 0 perché 0 + 7 = 7.

La moltiplicazione e la divisione

Nella moltiplicazione basta che lo 0 compaia una sola volta tra i fattori per annullare il prodotto. Lo 0 è quindi un numero che, moltiplicato per qualsiasi numero, dà come risultato se stesso. Per questo lo 0 viene detto elemento assorbente della moltiplicazione. Nella moltiplicazione vale la legge di annullamento del prodotto: affinché un prodotto sia 0 è necessario e sufficiente che sia 0 almeno uno dei suoi fattori. È sufficiente significa che se uno dei fattori è 0, anche il prodotto è uguale a 0. Nella divisione, quando il dividendo è 0, il quoziente è 0. Per esempio: 0:4= 0. Non è possibile la divisione con il divisore uguale a 0. Esempio: 6:0 non ha significato. Infatti non è possibile trovare un numero che moltiplicato per 0 dia come risultato 6. In casi come questo si dice che l'operazione è impossibile. Anche la divisione 0'0 non viene definita. In casi come questo si dice che l'operazione è indeterminata.

Il numero 1

Moltiplicando qualsiasi numero per 1 si ottiene come risultato il numero stesso, indifferentemente quando 1 è il primo fattore o il secondo. Per questo 1 è detto elemento neutro della moltiplicazione. Nella divisione, quando il divisore è 1, il quoziente coincide con il dividendo. Se la divisione ha quoziente 1, il dividendo e il divisore sono uguali.

Tratto dagli appunti di Claudio Rosanova

Le proprietà dell'addizione e della moltiplicazione

La proprietà commutativa

In un'addizione, se si cambia l'ordine degli addendi, la somma non cambia

Esempio: 5+4=4+5

La proprietà associativa

La somma di tre numeri non cambia se si associano diversamente gli addendi,

lasciando invariato il loro ordine.

Esempio: (3+6)+4=3+(6+4)

La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

Quando si deve moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare quel

numero per ciascun addendo e poi sommare i prodotti ottenuti, e il risultato

non cambia.

Esempio:5x (4+2)=5x4+5x2.

Le proprietà della sottrazione e della divisione

La proprietà invariantiva

la differenza (o quoziente) di due numeri naturali non cambia se si aggiunge(o moltiplica) o si sottrae(o divide) a entrambi uno stesso numero(purchè la sottrazione sia possibile in N)

a-b=(a+c)-(b+c)                                                                                             a:b=(axc):(bxc)

a-b=(a-c)-(b-c)                                                                                              a:b=(a:c):(a:b)

La proprietà ditributiva

Dividere una somma (o una differenza ) per un numero equivale a dividere tutti i termini della somma (o della differenza) per quel numero, per poi addizionare(o sottrarre) i risultati ottenuti.


LE POTENZE

Siano a ed m due numeri naturali, con m maggiore di 1.

Si definisce potena di base a ed esponente m, il prodotto di m fattori uguali ad a.

Ogni numero elevato uno da  come risultato quel numero.

Ogni numero elevato zero da  come risultato 1.

Le proprietà delle potenze

Prodotto di potenze con  la stessa base

Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.

3(alla terza)x 3(alla quarta)= 3(alla settima)

Quoziente di potenze con la stessa base

Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la differenza tra gli esponenti.

2(alla decima):2(alla settima)= 2(alla terza)

Potenza di potenza

La potenza di una potenza, è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente il prodotto tra gli esponenti

La potenza di una prodotto o di un quoziente

La potenza di un prodotto(o quoziente) è uguale al prodotto(quoziente) delle potenze con lo stesso esponente dei singoli fattori(termini)

(7x5) (alla seconda)= 7(alla seconda) x 5 (alla seconda)= 49x 25=1225

Tratto dal libro Matematica a colori